已知直線l過點P(0,2),斜率為k,圓Q:x2+y2-12x+32=0,若直線l和圓Q交于兩個不同的點A,B,問是否存在常數(shù)k,使得
OA
+
OB
PQ
共線?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
分析:設(shè)直線l的方程為y=kx+2,將l的方程和圓方程聯(lián)解,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系及
OA
+
OB
PQ
共線,建立關(guān)于k的等式解出k=-
3
4
.再由根的判別式大于零可得-
3
4
<k<0,因此不存在常數(shù)k,使得
OA
+
OB
PQ
共線.
解答:解:設(shè)直線l的方程為y=kx+2,
y=kx+2
x2+y2-12x+32=0
消y,可得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0,
∵直線l和圓相交,
∴△=[4(k-3)]2-4×36×(1+k2)>0,解得-
3
4
<k<0.
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),
由根與系數(shù)的關(guān)系,可得x1+x2=-
4(k+3)
1+k2
,x1x2=
36
1+k2
.…①
∴y1+y2=kx1+2+kx2+2=k(x1+x2)+4,…②
OA
+
OB
=(x1+x2,y1+y2),
PQ
=(6,-2).
OA
+
OB
PQ
共線,則-2×(x1+x2)=6×(y1+y2),即(1+3k)(x1+x2)+12=0,
代入①②,可得(1+3k)[-
4(k+3)
1+k2
]+12=0,解得k=-
3
4

又∵-
3
4
<k<0,
∴不存在常數(shù)k,使得
OA
+
OB
PQ
共線.
點評:本題給出經(jīng)過定點的直線與圓的方程,探究使
OA
+
OB
PQ
共線的直線是否存在.著重考查了向量共線的條件、直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l過點P(0,2),斜率為k,圓Q:x2+y2-12x+32=0.
(1)若直線l和圓相切,求直線l的方程;
(2)若直線l和圓交于A、B兩個不同的點,問是否存在常數(shù)k,使得
OA
+
OB
PQ
共線?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l過點P(0,1),且l夾在兩直線l1:x-3y+10=0與l2:2x+y-8=0之間的線段恰好被P點平分,則直線l的方程為
x+4y-4=0
x+4y-4=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知直線l過點P(0,1),并與直線l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分別交于點A、B,若線段AB被點P平分,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年河北省邯鄲一中高三(上)期中數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知直線l過點P(0,2),斜率為k,圓Q:x2+y2-12x+32=0.
(1)若直線l和圓相切,求直線l的方程;
(2)若直線l和圓交于A、B兩個不同的點,問是否存在常數(shù)k,使得+共線?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.

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