Question

已知{a_n}是首項為1的等差數(shù)列，其公差d＞0，且a₃，a₇+2，3a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，求f(n)=

Sn	(n+6) Sn+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）依題意有(a7+2)2=3a3a9，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求d，進而可求通項a_n，
（2）由等差數(shù)列的求和公式可求S_n，S_n+1，代入到f（n）后，結(jié)合對勾函數(shù)f（x）=x+

k

x

（k＞0）的單調(diào)性可求f（n）的最大值

解答：解：（1）依題意有(a7+2)2=3a3a9
∴（3+6d）²=3（1+2d）（1+8d）（2分）
∴2d²-d-1=0
∵d＞0
解得d=1或d=-

1

2

（舍去） （4分）
∴a_n=1+（n-1）×1=n
故 a_n=n為所求      （6分）
（2）由等差數(shù)列的求和公式可得，Sn=

(1+n)n

2

，Sn+1=

(2+n)(1+n)

2

（8分）
得f(n)=

Sn

(n+6)Sn+1

=

n

(n+6)(n+2)

=

1

n+ 12 n +8

（9分）
由函數(shù)y=n+

12

n

的單調(diào)性可知，n∈(0，2

3

)單調(diào)遞減，(2

3

，+∞)上單調(diào)遞減，
則f(n)max=max{f(3)，f(4)}=max{

1

15

，

1

15

}=

1

15

（12分）

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項公式的簡單應(yīng)用，對勾函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用是求解（2）的關(guān)鍵