Question

【題目】為響應(yīng)新農(nóng)村建設(shè)，某村計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有舊水渠進(jìn)行改造，已知舊水渠的橫斷面是一段拋物線弧，頂點(diǎn)為水渠最底端（如圖），渠寬為4m，渠深為2m．

（1）考慮到農(nóng)村耕地面積的減少，為節(jié)約水資源，要減少水渠的過水量，在原水渠內(nèi)填土，使其成為橫斷面為等腰梯形的新水渠（如圖（1）建立平面直角坐標(biāo)系），新水渠底面與地面平行（不改變渠寬），問新水渠底寬為多少時(shí)，所填土的土方量最少？

（2）考慮到新建果園的灌溉需求，要增大水渠的過水量，現(xiàn)把舊水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的新水渠（如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系），使水渠的底面與地面平行（不改變渠深），要使所挖土的土方量最少，請(qǐng)你設(shè)計(jì)水渠改挖后的底寬，并求出這個(gè)底寬．

Answer 1

【答案】（1）；（2）改挖后的水渠的底寬為時(shí)，可使挖土的土方量最少

【解析】試題分析：（1）建立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為,由已知點(diǎn)在拋物線上，推導(dǎo)出拋物線的方程，可得梯形面積，利用導(dǎo)數(shù)可得結(jié)論；(2)為了使挖掉的土最少,等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切,設(shè)切點(diǎn)，則函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為,由此能推導(dǎo)出設(shè)計(jì)改挖后的水渠的底寬為時(shí)，可使用權(quán)所挖土的土方星最少.

試題解析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線的方程為，由已知點(diǎn)在拋物線上，得，所以拋物線的方程為.

（1）為了使填入的土最少，內(nèi)接等腰梯形的面積要最大，如圖1，設(shè)點(diǎn)，則此時(shí)梯形APQB的面積，

∴,令，得，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)， 有最大值，改挖后的水渠的底寬為m時(shí)，可使填土的土方量最少.

（2）為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，如圖2，設(shè)切點(diǎn)，則函數(shù)在點(diǎn)M處的切線方程為，分別令得，所以此時(shí)梯形OABC的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí).所以設(shè)計(jì)改挖后的水渠的底寬為m時(shí)，可使挖土的土方量最少.