Question

【題目】(2015·新課標I卷）某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的宣傳費xi和年銷售量yi=1;2…8數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中wi=，=
（1）根據(jù)散點圖判斷，y=a+bx與y=c+d，哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；
（2）根據(jù)（I）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
（3）已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x ， y的關(guān)系為z=0.2y-x，根據(jù)（II）的結(jié)果回答下列問題：
（i）當年宣傳費x=90時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值時多少？
（ii）當年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2)，……，(un,vn),其回歸線v=的斜率和截距的最小二乘估計分別為：

Answer 1

【答案】
（1）

y=c+d適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費用x的回歸方程類型。

（2）

=100.6+68

（3）

46.24

【解析】(I)由散點圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù);(II)令w=,先求出建立y關(guān)于w的線性回歸方程，即可y關(guān)于x的回歸方程;(III) : (i) 利用y關(guān)于x的回歸方程先求出年銷售量y預(yù)報值，再根據(jù)年利率z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x即可年利潤z的預(yù)報值，(ii) 根據(jù)(II)的結(jié)果知，
利潤z的預(yù)報值，列出關(guān)于x的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費用.
試題解析:(I)由散點圖可以判斷，y=c+d適合作為年銷售y關(guān)于年宣傳費用x的回歸方程類型。
(II)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于
∴
∴y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w, ∴y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68.
(III)(i)由(II)知，當x=49時，年銷量y的預(yù)報值,=100.6+68=576.6，=576.6x0.2-49=66.32 (ii)根據(jù)(II)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值
=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12,∴ 當==6.8，即x=46.24時，取得最大值。
【分 析】本題考查了非線性擬合及非線性回歸方程的求解與應(yīng)用，是源于課本的試題類型，解答非線性擬合問題，先作出散點圖，再根據(jù)散點圖選擇合適的函數(shù)類型，設(shè) 出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數(shù)據(jù)換元后的值，然后根據(jù)線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數(shù)，即可 求出非線性回歸方程，再利用回歸方程進行預(yù)報預(yù)測，注意計算要細心，避免計算錯誤.