Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，．

（1）求證：平面平面；

（2）若為的中點(diǎn)，求證：平面；

（3）若與平面所成的角為，求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)先證明平面，再證明平面平面．（2）先證明，再證明平面.(3) 建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求得，即得a=1,再求四棱錐的體積.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面．

所以平面平面．

（2）取的中點(diǎn)，連接，．

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以，，

又因?yàn)?/span>，，

所以，．

所以四邊形是平行四邊形，．

又平面，平面，

所以平面．

（3）過(guò)作于，連接．

因?yàn)?/span>，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)槠矫?/span>平面，

所以平面．

如圖建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)．由題意得，，，，，．

所以 ， ， ．

設(shè)平面的法向量為，則

即

令，則．所以．

因?yàn)?/span>與平面所成角為，

所以,

解得．

所以四棱錐的體積．