Question

在一個(gè)軸截面是正三角形的圓錐形容器中注入高為h的水，然后將一個(gè)鐵球放入這個(gè)圓錐形的容器中，若水面恰好和球面相切，求這個(gè)鐵球的半徑．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)水的高度以及圓錐形容器的軸截面為等邊三角形得到水的體積，設(shè)出球的半徑表示出球的體積，則根據(jù)放球后總體積V′=V_球+V_水，得到關(guān)于鐵球R的方程，解出即可．
解答：解：如圖，作出圓錐形容器的軸截面，△ABS為等邊三角形．
∵SG=h，DG=h，∴V_水=•DG²•SG=h³．
設(shè)鐵球的半徑為R，
則SO=2R，SF=3R，
在Rt△FSB中，BF=SFtan∠FSB=R，
設(shè)放入球之后，球與水共占體積為V′，
則V′=•（BF）²•SF=（R）²•3R=3πR³，V_球=R³．
依題意，有V′=V_球+V_水，
即3πR³=R³+h³，∴R=h．
答：鐵球的半徑為h．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用的能力．