Question

14．已知等差數列{a_n}（n∈N^*）的前n項和為S_n，且a₃=5，S₃=9
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數列{b_n}的前n項和T_n；
（3）若等比數列{c_n}（n∈N*）中，c₂=a₂，c₃=a₅，求數列{c_n}的前n項和Q_n．

Answer 1

分析 （1）把已知條件都用首項以及公差d表示出來，求出首項和公差，由等差數列的通項公式解答；
（2）利用（1）的結論易得${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$），即利用裂項可求和；
（3）根據等比數列的定義推知公比q=3，首項c₁=1，所以由等比數列的前n項和公式進行解答．

解答 解：設數列的首項以及公差分別為：a₁，d．
所以有a₃=a₁+2d=5  ①，
$\frac{3（{a}_{1}+5）}{2}=9$  ②
聯立①②解得：a₁=1，d=2，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）由（1）知，a_n=2n-1．
則${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$），
所以T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{2}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$；
（3）∵c₂=a₂=3，c₃=a₅=9，
∴q=3，
∴c₁=1，
∴Q_n=$\frac{1×（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{1}{2}$（3ⁿ-1）．

點評 本題主要考查數列通項公式和前n項和的求解，利用定義法和裂項相消法是解決本題的關鍵．