Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂（a_n+1），求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，由此能證明數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，從而能求出a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）由b_n=log₂（a_n+1）=n，得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （Ⅰ）證明：∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），a₁+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）解：∵b_n=log₂（a_n+1）=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．