過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)F引直線l：y=
b
a
x的垂線FM，垂足為M，l交橢圓于P、Q兩點(diǎn)，若
PM
=3
MQ
，則該橢圓的離心率為
2-
2
2-
2
．
分析：根據(jù)直線的斜率公式和解直角三角形，算出|OM|=
ac
a2+b2
．由
PM
=3
MQ
得M是OQ的中點(diǎn)，可得|OQ|=2|OM|=
2ac
a2+b2
．由線段垂直平分線定理，得|QF2|=|OF2|=c，結(jié)合橢圓的定義得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c，最后在△QF1F2中利用中線的性質(zhì)，建立關(guān)于a、b、c的等式，化簡(jiǎn)整理得到離心率e的方程，解之即可得到所求離心率．
解答：解：∵直線l的斜率k=
b
a

Rt△OMF2中，tan∠MOF2=
|MF2|
|OM|
=
b
a

結(jié)合|OF2|=c，可得|OM|=
ac
a2+b2

∵
PM
=3
MQ
，
∴M是OQ的中點(diǎn)，可得|OQ|=2|OM|=
2ac
a2+b2

∵M(jìn)F2是OQ的垂直平分線，∴|QF2|=|OF2|=c
連結(jié)QF1，由橢圓的定義可得|QF1|=2a-|QF2|=2a-c
∵OQ是△QF1F2的中線
∴4|OQ|2+|F1F2|2=2（|QF1|2+|QF2|2）
即4×
4a2c2
a2+b2
+4c2=2[（2a-c）2+c2]，
化簡(jiǎn)整理得e3-3e2-2e+2=0，即（e2-4e+2）（e+1）=0
∵e+1＞0，∴e2-4e+2=0，解之得e=2±
2

∵橢圓的離心率e∈（0，1），∴e=2-
2

故答案為：2-
2
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的向量式，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義與幾何性質(zhì)、向量的運(yùn)算和解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，|F1F2|=4
2
，離心率e=
2
2
3
．過直線l：x=
a2
c
上任意一點(diǎn)M，引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B．
（1）在圓中有如下結(jié)論：“過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為：x0x+y0y=r2”．由上述結(jié)論類比得到：“過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），上一點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程”（只寫類比結(jié)論，不必證明）．
（2）利用（1）中的結(jié)論證明直線AB恒過定點(diǎn)（2
2
，0）；
（3）當(dāng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求△ABM的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•寧波模擬）已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）求△OAB的面積S的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：圓x2+y2=1過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)：直線y=kx+m與圓x2+y2=1相切，與橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1相交于A，B兩點(diǎn)記λ=
OA
•
OB
，且
2
3
≤λ≤
3
4
，
（1）求橢圓的方程；
（2）求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（如圖）過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB；若點(diǎn)M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點(diǎn)M為該橢圓的“左特征點(diǎn)”．
（1）求橢圓
x2
5
+y2=1的“左特征點(diǎn)”M的坐標(biāo)．
（2）試根據(jù)（1）中的結(jié)論猜測(cè)：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的“左特征點(diǎn)”M是一個(gè)怎么樣的點(diǎn)？并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)A做圓x2+y2=b2的切線，切點(diǎn)為B，延長(zhǎng)AB交拋物線于y2=4ax于點(diǎn)C，若點(diǎn)B恰為A、C的中點(diǎn)，則
a
b
的值為
1+
5
2
1+
5
2
．

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