Question

已知a＞b＞c，a+b+c=0，方程ax²+bx+c=0的兩個實數根為x₁，x₂，
（1）求

b

a

的取值范圍； 
（2）若

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

=1，求

x

2 1

-x1x2+

x

2 2

的值．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數的性質進行推理．（2）利用根與系數之間的關系求值．

解答：解：（1）∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴3a＞a+b+c=0＞3c
∴a＞0，c＜0…2’
又∵c=-（b+c），
∴a＞b＞c=-（a+b）…4’
∵a＞0，兩邊除以a，得1＞

b

a

＞-1-

b

a

∴-

1

2

＜

b

a

＜1…6’
又∵△=b²-4ac=b²-4a（-a-b）=4a²+4ab+b²=（2a+b）²≥0恒成立   …7’
∴所求

b

a

的取值范圍是(-

1

2

，1)…8’
（2）∵a+b+c=0，∴ax²+bx+c=0有一根x=1，
不妨設x₁=1代入

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

=1，得x2+

x

2 2

=0，
∴x₂=0或x₂=-1，
又∵x1x2=

c

a

＜0，∴x₂=0（舍去）        …11’
∴x₂=-1，∴

x

2 1

-x1x2+

x

2 2

=3…12’

點評：本題主要考查二次函數的圖象和性質以及二次函數根與系數之間的關系，綜合性較強．