Question

（2009•宜昌模擬）設(shè)b、c∈{1，2，3，4，5，6}，用隨機(jī)變量ξ表示方程2x²+cx+b=0實(shí)根的個數(shù)（重根按一個計(jì)）．
（1）求方程2x²+cx+b=0有實(shí)根的概率；
（2）求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知是36，滿足條件的事件是方程2x²+cx+b=0有實(shí)根包括有一個實(shí)根，有兩個實(shí)根，這兩種結(jié)果是互斥的，根據(jù)互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）由題意知實(shí)根的個數(shù)只有三種結(jié)果，0、1、2，根據(jù)上一問的計(jì)算可以寫出當(dāng)變量取值時對應(yīng)的概率，寫出分布列，算出期望．

解答：解：（1）記“方程2x²+cx+b=0有且僅有一個實(shí)根”為事件B，“方程2x²+cx+b=0 有兩個相異實(shí)數(shù)”為事件A．
c，b分別取1到6，基本事件總數(shù)為36種．
事件B需要滿足c²-8b=0，按序窮舉可得，c=4時b=2符合，
其概率為 P（B）=

1

36

                …（2分）
事件A需要滿足c²-8b＞0，按序窮舉可得，c=3時b=1；c=4時b=1；c=5時b=1，2，3；c=6時b=1，2，3，4．合計(jì)9種．其概率為P（A）=

9

36

=

1

4

．…（5分）
又因?yàn)锽，A是互斥事件，故所求概率
P=P（B）+P（A）=

1

36

+

9

36

=

5

18

．          …（6分）
（2）由題意，ξ的可能取值為0，1，2．
P（ξ=1）=

1

36

P（ξ=2）=

9

36

P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=

26

36

．…（8分）
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	26 36	1 36	9 36

…（9分）
所以ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

26

36

+1×

1

36

+2×

9

36

=

19

36

．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列和古典概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點(diǎn)結(jié)合在一起，實(shí)際上是以概率問題為載體，主要考查的是另一個知識點(diǎn)，本題考查一元二次方程的解．