Question

若不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為________．

Answer 1

1
分析：由題意可得：原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為不等式（2m-1）x²-2xy+my²≥0對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，即不等式（2m-1）-2+m≥0對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，然后利用一元二次不等式恒成立的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題即可．
解答：由題意可得：不等式x²+2xy≤m（2x²+y²）對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，
即不等式（2m-1）x²-2xy+my²≥0對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，
即不等式（2m-1）-2+m≥0對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，
設(shè)t=，則有t＞0，
所以（2m-1）t²-2t+m≥0對(duì)于一切t∈（0，+∞）恒成立，
設(shè)f（t）=（2m-1）t²-2t+m，（t＞0），
①m=時(shí)，顯然不符合題意，故舍去．
②當(dāng)m時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為t₀=，
所以由題意可得：，解得m≥1．
故答案為1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是不等式與恒成立的綜合類問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了恒成立的思想以及整體代換的技巧．