Question

3．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且asinB=$\sqrt{3}$bcosA．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為$\sqrt{3}$，△ABC的周長(zhǎng)為6，求a．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知可得$tanA=\sqrt{3}$，結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值．
（Ⅱ）利用三角形面積公式可求bc=4，利用周長(zhǎng)及余弦定理可得$\left\{\begin{array}{l}b+c=6-a\\ bc=4\\{b^2}+{c^2}={a^2}+4\end{array}\right.$，即可解得a的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）$asinB=\sqrt{3}bcosA$，
∴由正弦定理得：$sinAsinB=\sqrt{3}sinBcosA$．…（1分）
$sinA=\sqrt{3}cosA$，…（2分）
$tanA=\sqrt{3}$，…（4分）
∵0＜A＜π，…（5分）
$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）a+b+c=6，…（7分）
△ABC的面積為$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，可得：bc=4，…（8分）
在△ABC中，由余弦定理可得：a²=b²+c²-bc，…（9分）
則$\left\{\begin{array}{l}b+c=6-a\\ bc=4\\{b^2}+{c^2}={a^2}+4\end{array}\right.$，…（10分）
可得：$\left\{\begin{array}{l}{b^2}+{c^2}+2bc={（6-a）^2}\\ bc=4\\{b^2}+{c^2}={a^2}+4\end{array}\right.$，…（11分）
可得：（6-a）²=a²+12，解得：a=2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．