精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3AD,E,F(xiàn)為AB的兩個三等分點,AC,DF交于點G;
(I)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,證明:EG⊥DF;
(II)設(shè)點E關(guān)于直線AC的對稱點為E',問點E'是否在直線DF上,并說明理由.
分析:(I)建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,求出直線EG和DF的方程,利用斜率之間的關(guān)系證明:EG⊥DF;
(II)求出點E關(guān)于直線AC的對稱點為E'的坐標(biāo),判斷E'的坐標(biāo)是否滿足DF的方程即可證明.
解答:解:(I)以AB所在的直線為x軸,以AD所在的直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,設(shè)AD的長度為1,
則A(0,0),D(0,1),E(1,0),F(xiàn)(2,0),C(3,1),精英家教網(wǎng)
∴直線AC的方程為y=
1
3
x
,①
直線DF的方程為y=-
1
2
x+1
,②
由①②解得交點坐標(biāo)G(
6
5
,
2
5
),
∴EG的斜率kEG=2,DF的斜率kDF=-
1
2
,
∴-
1
2
×2=-1
,
即EG⊥DF;
(II)設(shè)點E'的坐標(biāo)為(x1,y1),
則EE'的中點M(
x1+1
2
,
y1
2
),
由題意得
y1
2
=
1
3
?
x1+1
2
y1
x1-1
?
1
3
=-1
,
x1=
4
5
y1=
3
5
,
∴E'(
4
5
,
3
5
),
3
5
=(-
1
2
)•
4
5
+1
,
∴E'在直線DF上.
點評:本題主要考查直線方程的求法,建立平面之間坐標(biāo)系是解決本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的運算能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分別為線段AB,CD的中點,EP⊥平面ABCD.
(1) 求證:AQ∥平面CEP;
(2) 求證:平面AEQ⊥平面DEP.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在矩形ABCD中,已知AB=2AD=4,E為AB的中點,現(xiàn)將△AED沿DE折起,使點A到點P處,滿足PB=PC,設(shè)M、H分別為PC、DE的中點.
(1)求證:BM∥平面PDE;
(2)線段BC上是否存在一點N,使BC⊥平面PHN?試證明你的結(jié)論;
(3)求△PBC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=3
3
,BC=3,沿對角線BD將BCD折起,使點C移到點C′,且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
(1)求證:BC′⊥面ADC′;
(2)求二面角A-BC′-D的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,已知AB=3,AD=1,E、F分別是AB的兩個三等分點,AC,DF相交于點G,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系:
(1)若動點M到D點距離等于它到C點距離的兩倍,求動點M的軌跡圍成區(qū)域的面積;
(2)證明:E G⊥D F.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在矩形ABCD中,AB=
12
BC,E為AD的中點,將△ABE沿BE折起,使平面ABE⊥平面BCDE.
(1)求證:CE⊥AB;
(2)在線段BC上找一點F,使DF∥平面ABE.

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同步練習(xí)冊答案