Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求證：BC⊥AA₁．
（2）若M，N是棱BC上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，求證：A₁N∥平面AB₁M．

Answer 1

證明：（Ⅰ）因?yàn)椤螦CB=90°，所以AC⊥CB，
又側(cè)面ACC₁A₁⊥平面ABC，且平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，所以BC⊥平面ACC₁A₁，
又AA₁?平面ACC₁A₁，所以BC⊥AA₁．
（II）連接A₁B，交AB₁于O點(diǎn)，連接MO，
在△A₁BN中，O，M分別為A₁B，BN的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥A₁N
又OM?平面AB₁M，A₁N不屬于平面AB₁M，
所以A₁N∥平面AB₁M．
分析：（Ⅰ）先根據(jù)∠ACB=90°得到AC⊥CB，再由側(cè)面ACC₁A₁⊥平面ABC根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得到BC⊥平面ACC₁A₁，又由AA₁?平面ACC₁A₁，從而可得證．
（II）先連接A₁B，交AB₁于O點(diǎn)，再連接MO，根據(jù)O，M分別為A₁B，BN的中點(diǎn)由中位線定理得到OM∥A₁N，從而可根據(jù)線面平行的判定定理證明A₁N∥平面AB₁M，得證．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和線面平行的判定定理．考查立體幾何的基本定理的應(yīng)用情況．