Question

下列命題中，正確的是

①③

（1）平面向量

a

與

b

的夾角為60°，

a

=(2，0)，|

b

|=1，則|

a

+

b

|=

7

（2）若x≠0，則x+

1

x

≥2
（3）若命題p：“?x∈R，x²-x-1＞0”，則命題p的否定為“?x∈R，x²-x-1≤0
（4）“a=1是“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充要條件．

Answer 1

分析：由已知中向量

a

的坐標(biāo)，求出向量

a

的模，進(jìn)而利用平方法求出|

a

+

b

|2，進(jìn)而求出|

a

+

b

|，可判斷①；
利用基本不等式求出x≠0時(shí)，x+

1

x

的取值范圍，可判斷②；
根據(jù)特稱命題的否定方法，求出原命題的否定命題，可判斷③；
根據(jù)直線垂直的充要條件，及充要條件定義，可判斷④．

解答：解：∵

a

=(2，0)，|

b

|=1，∴|

a

|=2，故

a

•

b

=1，故|

a

+

b

|2=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=7，故|

a

+

b

|=

7

，故①正確；
當(dāng)x＞0時(shí)，x+

1

x

≥2，當(dāng)x＜0時(shí)，x+

1

x

≤-2，故x≠0，則x+

1

x

≥2或x+

1

x

≤-2，故②錯(cuò)誤；
命題p：“?x∈R，x²-x-1＞0”時(shí)，￢p：“?x∈R，x²-x-1≤0”故③正確；
當(dāng)“a=1”時(shí)，“直線x-y=0與直線x+y=0互相垂直”，當(dāng)“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”時(shí)，“a=±1”，故“a=1是“直線x-ay=0與直線x+ay=0互相垂直”的充分不必要條件，故④錯(cuò)誤；
故答案為：①③

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了向量模的求法，基本不等式，特稱命題的否定及直線垂直的充要條件等知識(shí)點(diǎn)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．