Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=

a

2

n²．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列；
（2）試討論數(shù)列{a_n}的單調(diào)性（遞增數(shù)列或遞減數(shù)列或常數(shù)列）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S_n=

a

2

n²，a_n=S_n-S_n-1，n≥2，然后將首項(xiàng)代入驗(yàn)證，可得數(shù)列{a_n}為公差為a的等差數(shù)列；
（2）根據(jù)a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）可知只需討論公差a的符號(hào)，從而確定數(shù)列{a_n}的單調(diào)性．

解答：解：（1）由已知，得a1=S1=

a

2

，
an=Sn-Sn-1=

a

2

(2n-1)=an-

a

2

(n∈N*，n≥2)…（3分）
又a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）…（2分）
所以，數(shù)列{a_n}為公差為a的等差數(shù)列．   …（1分）
（2）由a_n-a_n-1=a（n∈N^*，n≥2）得
當(dāng)a＞0時(shí)，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列；        …（2分）
當(dāng)a=0時(shí)，數(shù)列{a_n}為常數(shù)列；           …（2分）
當(dāng)a＜0時(shí)，數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列．        …（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的判定，以及數(shù)列的函數(shù)特性和數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．