如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，棱長為4，E為面A1D1DA的中心，
CF=3FC1，AH=3HD，
（1）求異面直線EB1與HF之間的距離
（2）求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值．

解：如圖建立直角坐標系D1-xyz，則E（2，0，2），B1（4，4，0），H（1，0，4）
（1）=（2，4，-2），=（-1，4，-3）=（-1，0，2），設=（x，y，z）
即
，取x=1，則z=-3，y=-2，
則=（1，-2，-3）
異面直線EB1與HF之間的距離為=
（2））=（2，4，-2），=（2，0，-2），=（-1，0，2），
設平面HB1E的法向量為=（x，y，z）
則即
取x=2，則y=，z=1．∴=（2，，1）
令平面A1B1E的法向量為=（x，y，z）
則
取x=1，y=0，z=1，則為=（1，0，1）
∴|cos|==．
∵二面角H-B1E-A為鈍二面角．
∴二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值為．
分析：（1）求出異面直線EB1與HF的方向向量，以及與它們垂直的向量，異面直線EB1與HF之間的距離等于．
（2）求出平面HB1E的法向量為，平面A1B1E的法向量為，二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值的絕對值等于夾角的余弦絕對值．
點評：本題考查異面直線距離，二面角的大小計算．做題的關鍵是熟練掌握向量法求異面直線距離、二面角的公式與步驟，利用向量法求空間距離、空間角是向量的一個重要運用，向量的引入，為立體幾何中二面角求解帶來了極大的方便，題后應注意總結此法求二面角的規(guī)律．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8、如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，點E，F(xiàn)在線段AB上，點M在線段B1C1上，點N在線段C1D1上，且EF=1，D1N=x，AE=y，M是B1C1的中點，則四面體MNEF的體積（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點．
求：
（1）D1E與平面BC1D所成角的正弦值；
（2）二面角D-BC1-C的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別是D1C、AB的中點．
（I）求證：EF∥平面ADD1A1；
（Ⅱ）求二面角D-EF-A的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點P，Q，R分別是棱AB，CC1，D1A1的中點．
（1）求證：B1D⊥平面PQR；
（2）設二面角B1-PR-Q的大小為θ，求|cosθ|．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•寶山區(qū)一模）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1 的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點．
（1）求三棱錐E-AA1F的體積；
（2）求異面直線EF與AB所成角的大小（結果用反三角函數(shù)值表示）．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案