Question

已知函數f（x）=|x²-4x+3|．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間，并指出其增減性；
（2）若關于x的方程f（x）-a=x至少有三個不相等的實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的意義，將函數化成分段函數形式，再結合函數的圖象即可得到函數的單調區(qū)間；
（2）關于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，將兩個方程聯(lián)解，結合一元二次方程根的判斷式，得當a=-

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時直線y=x+a與曲線y=-x²+4x-3相切于點A（

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，

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）．再根據a=-1時，直線y=x+a經過點B（1，0）與y=f（x）圖象也有三個公共點，由此結合函數圖象的變化，即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）f（x）=|x²-4x+3|=

x2-4x+3     (x≤1) -x2+4x-3    (1＜x＜3) x2-4x+3      (x≥3)

∴當x≤1時，函數為減函數；當1≤x≤2時，函數為增函數；
當2≤x≤3時，函數為減函數；當x≥3時，函數為增函數
由此可得：函數的單調遞增區(qū)間為[1，2]和[3，+∞），
遞減區(qū)間為（-∞，1]和[2，3]
（2）關于x的方程f（x）-a=x即f（x）=x+a，
由y=x+a和y=-x²+4x-3，消去y，得x²-3x+3+a=0，
由△=9-4（3+a）=0，得a=-

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，
∴當a=-

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時，直線y=x+a與曲線y=-x²+4x-3相切于點A（

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2

，

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），
又∵直線y=x+a經過點B（1，0）時，兩圖象也有三個公共點，此時a=-1
∴當直線y=x+a位于點A、B之間（含邊界）時，兩圖象至少有三個不同的交點
由此，結合函數圖象可得a∈[-1，-

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]．

點評：本題給出含有絕對值的二次函數形式，討論函數的單調性并求關于x的方程根的個數，著重考查了函數的單調性和二次函數圖象與直線的位置關系等知識點，屬于中檔題．