Question

定義在上的函數(shù)，如果滿(mǎn)足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱(chēng)是上的有界函數(shù)，其中稱(chēng)為函數(shù)的上界.

已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1) 在的值域?yàn)?img width=47 height=24 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/164/411164.gif">,函數(shù)在上不是有界函數(shù)；

（2）實(shí)數(shù)的取值范圍為

解析:

（1）當(dāng)時(shí)， 

    因?yàn)?img width=36 height=21 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/171/411171.gif">在上遞減，所以，即在的值域?yàn)?img width=47 height=24 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/176/411176.gif">

故不存在常數(shù)，使成立

所以函數(shù)在上不是有界函數(shù)。  

   （2）由題意知，在上恒成立

，          

∴   在上恒成立

∴    

設(shè)，，，由得 t≥1，

設(shè)，

所以在上遞減，在上遞增，

在上的最大值為，  在上的最小值為 

所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。