Question

2．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，線段B₁D₁上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則下列結(jié)論中錯誤的個數(shù)是（　�。�
（1）AC⊥BE；
（2）若P為AA₁上的一點，則P到平面BEF的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）三棱錐A-BEF的體積為定值；
（4）在空間與三條直線DD₁，AB，B₁C₁都相交的直線有無數(shù)條．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 連接BD，則AC⊥平面BB₁D₁D，從而AC⊥BE；P點到面BEF的距離等于A到面BDD₁B₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$；三棱錐A-BEF中，底面積是定值，高是定值，所以體積是定值；在AC 上任取點P，過點P和直線DD₁確定面α，l與直線B₁C₁必有交點G，直線PG就是所畫的直線，這樣的直線有無數(shù)條．

解答 解：對于（1），連接BD，∵AC⊥BD，AC⊥DD₁，∴AC⊥平面BB₁D₁D，又BE?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BE．故（1）正確；
對于（2），由AA₁∥面BDD₁B₁，則P點到面BEF的距離等于A到面BDD₁B₁的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故（2）正確；
對于（3），在三棱錐A-BEF中，底面積是定值，高是定值，所以體積是定值，故（3）正確；
對于（4），在AC 上任取點P，過點P和直線DD₁確定面α，
設(shè)面α∩面BCC₁B₁=l，則l與直線B₁C₁必有交點G（若l∥B₁C₁，則B₁C₁∥DD₁，矛盾），
則直線PG就是所畫的直線，因為點P的任意性，所以這樣的直線有無數(shù)條，故（4）正確．
故選：A．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直，考查線面角、線線角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．