Question

已知函數(shù)f （x）=3sin²ax+

3

sin ax cos ax+2cos²ax的周期為π，其中a＞0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

2

]上時求f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間及值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡整理，進而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的周期，即可求a的值；
（Ⅱ）整體思維，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合x∈[-

π

12

，

π

2

]，可得單調(diào)增區(qū)間；確定2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]，可得函數(shù)的值域．

解答：解：（Ⅰ）由題意得f（x）=

3

2

（1-cos 2ax）+

3

2

sin 2ax+（1+cos 2ax）=

3

2

sin 2ax-

1

2

cos 2ax+

5

2

=sin（2ax-

π

6

）+

5

2

．
因為f （x）的周期為π，a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x-

π

6

）+

5

2

令2x-

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），可得x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z），
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴當(dāng)x∈[-

π

12

，

π

2

]上時，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-

π

12

，

π

3

]；
∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

3

2

，1]
∴f（x）的值域為[

5

2

-

3

2

，

7

2

]．

點評：本題考查三角函數(shù)的解析式和有關(guān)性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．