Question

（本小題滿分14分）若，，，為常
數(shù)，且
（Ⅰ）求對所有實(shí)數(shù)成立的充要條件（用表示）；
（Ⅱ）設(shè)為兩實(shí)數(shù)，且,若
求證：在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為（閉區(qū)間的長度定義為）．

Answer 1

解：（Ⅰ）恒成立
;
（*）
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231930111751026.gif" style="vertical-align:middle;" />,
所以，故只需（*）恒成立.
綜上所述，對所有實(shí)數(shù)成立的充要條件是.   ………4分 
（Ⅱ）1°如果，則的圖象關(guān)于直線對稱．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193010692421.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以區(qū)間關(guān)于直線 對稱．
因?yàn)闇p區(qū)間為，增區(qū)間為，所以單調(diào)增區(qū)間的長度和為.   ………6分
2°如果.
（1）當(dāng)時(shí).，
當(dāng)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193011706657.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，故=.
當(dāng)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193011706657.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，故=.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193010692421.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以即
.
當(dāng)時(shí)，令，則，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以=;
時(shí)，，所以=.
在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和
=.                        …………10分
（2）當(dāng)時(shí).，
當(dāng)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193011706657.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，故=.
當(dāng)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193011706657.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，故=.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823193010692421.gif" style="vertical-align:middle;" />，所以，所以.
當(dāng)時(shí)，令，則，所以，
當(dāng)時(shí)， ，所以=;
時(shí)，，所以=;
在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和
=.
綜上得在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為.        …………14分

略