Question

直角坐標(biāo)系xOy中，

i

、

j

分別是與x、y軸正方向同向的單位向量．在直角三角形ABC中，若

AB

=2 

i

+

j

，

AC

=3 

i

+k 

j

，則k的可能值個(gè)數(shù)是

-6，-1

．

Answer 1

分析：利用

BC

=

AC

 -

AB

=

i

+（k-1）

j

，再分三種情況∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°加以討論，利用向量的數(shù)量積等于零，建立關(guān)系式，再解方程求得所有可能k的值．

解答：解：∵

AB

=2

i

+

j

  ，

AC

=3

i

 +k

j

，
∴

BC

=

AC

-

AB

=

i

+(k-1)

j

因?yàn)椤鰽BC為直角三角形，
（1）∠A=90°時(shí)，

AB

•

AC

=6+k=0⇒k=-6；
（2）∠B=90°時(shí)，

AB

•

BC

=2+k-1=0⇒k=-1；
（3））∠C=90°時(shí)，

BC

•

AC

=3+k(k-1)=0⇒k∈∅
綜上所述，k=-6或-1
故答案為：-6，-1．

點(diǎn)評：本題考查向量坐標(biāo)的定義、考查向量的運(yùn)算法則、考查向量垂直的充要條件．解答的關(guān)鍵是利用向量垂直的充要條件列出等式，所得到方程的所有解即為可能的k值．