Question

4．棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分別是A₁B₁，BB₁的中點，點P在正方體的表面上運動，則總能使MP⊥BN的點P所形成圖形的周長是（　�。�

• A． 4
• B． $2+\sqrt{2}$
• C． $3+\sqrt{5}$
• D． $2+\sqrt{5}$

Answer 1

分析 取CC₁的中點G，連接DGMA，設BN交AM與點E，則使BN與MP垂直的點P所構(gòu)成的軌跡為矩形ADGM，由此可得使BN與MP垂直的點P所構(gòu)成的軌跡的周長．

解答 解：如圖，取CC₁的中點G，連接DGMA，設BN交AM與點E，則MG∥BC，
∵BC⊥平面ABA₁B₁，NB?平面ABA₁B₁，
∴NB⊥MG，
∵正方體的棱長為1，M，N分別是A₁B₁，BB₁的中點，
△BEM中，∠MBE=30°，∠BME=60°
∴∠MEB=90°，即BN⊥AM，MG∩AM=M，
∴NB⊥平面ADGM，
∴使NB與MP垂直的點P所構(gòu)成的軌跡為矩形ADGM，
∵正方體的棱長為1
∴故由勾股定理可得，使B₁C與MP垂直的點P所構(gòu)成的軌跡的周長等于2+$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了立體幾何中的軌跡問題，考查學生的分析解決問題的能力，解題的關鍵是確定使BN與MP垂直的點P所構(gòu)成的軌跡，屬于中檔題．