0.考查①a1·≥1,②≥4,③≥9后.歸納出對a1,a2,-,an也成立的類似不等式.并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.">
設(shè)ai>0（i=1,2,…,n）.

考查①a1·≥1,②（a1+a2）（+）≥4,③（a1+a2+a3）（++）≥9后，歸納出對a1,a2,…,an也成立的類似不等式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

分析:由①②③歸納出類似的不等式并不難，關(guān)鍵是如何證明.要注意用上歸納假設(shè)及式子的變化.

解:由①②③我們可以得出不等式

（a1+a2+…+an）（++…+）≥n2

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個不等式

（1）當n=1時，由題設(shè)知不等式成立.

（2）假設(shè)當n=k（k≥1）時不等式成立，即

（a1+a2+…+ak）（++…+）≥k2

那么當n=k+1時

（a1+a2+…+ak+ak+1）（++…++…+）

=（a1+a2+…+ak）（++…+）+ak+1

（++…+）+（a1+a2+…+ak）+ak+1·≥k2+1+（+）+（+）+…+（+）≥k2+1+=k2+1+2k=（k+1）2.

所以當n=k+1時，不等式成立.

由（1）（2）知，對任意的正整數(shù)n,不等式恒成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知無窮數(shù)列{an}為等差數(shù)列，各項均為正數(shù)，給出方程aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）．
（1）求證這些方程有一個公共根為-1；
（2）設(shè)這些方程除公共根以外的另一根為αi，且f（n）=（α1+1）（α2+1）+（α2+1）（α3+1）+…+（αn+1）（αn+1+1）．求證：f（n）＜
4da1
．（其中d為數(shù)列{an}的公差）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于數(shù)列A：a1，a2，a3（ai∈N，i=1，2，3），定義“T變換”：T將數(shù)列A變換成數(shù)列B：b1，b2，b3，其中bi=|ai-ai+1|（i=1，2），且b3=|a3-a1|．這種“T變換”記作B=T（A），繼續(xù)對數(shù)列B進行“T變換”，得到數(shù)列C：cl，c2，c3，依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項均為0時變換結(jié)束．
（Ⅰ）寫出數(shù)列A：2，6，4經(jīng)過5次“T變換”后得到的數(shù)列；
（Ⅱ）若a1，a2，a3不全相等，判斷數(shù)列A：a1，a2，a3經(jīng)過不斷的“T變換”是否會結(jié)束，并說明理由；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列A：400，2，403經(jīng)過k次“T變換”得到的數(shù)列各項之和最小，求k的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•泉州模擬）計算機內(nèi)部都以二進制字符表示信息．若u=（a1，a2，…，an），其中ai=0或1（i=1，2，…，n），則稱u是長度為n的字節(jié)；設(shè)u=（a1，a2，…，an），v=（b1，b2，…，bn），用d（u，v）表示滿足ai≠bi（i=1，2，…，n）的i的個數(shù)．如u=（0，0，0，1），v=（1，0，0，1），則d（u，v）=1．現(xiàn)給出以下三個命題：
①若u=（a1，a2，…，an），v=（b1，b2，…，bn），則0≤d（u，v）≤n；
②對于給定的長度為n的字節(jié)u，滿足d（u，v）=n-1的長度為n的字節(jié)v共有n-1個；
③對于任意的長度都為n的字節(jié)u，v，w，恒有d（u，v）≤d（w，u）+d（w，v）．
則其中真命題的序號是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其中每一項及公差d均不為零，設(shè)aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）是關(guān)于x的一組方程：
（1）求所有這些方程的公共根；
（2）設(shè)這些方程的另一個根為mi，求證
1
m1+1
，
1
m2+1
，
1
m3+1
，…，
1
mn+1
，…也成等差數(shù)列．

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