已知函數(shù)y=g（x）與f（x）=loga（x+1）（0＜a＜1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（1）求y=g（x）的解析式；
（2）函數(shù)F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（t2-1）＜0．
分析：（1）設(shè)M（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的任意一點(diǎn)，M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)N（-x，-y）在函數(shù)f（x）=loga（x+1）的圖象上，代入f（x）解析式化簡可得；
（2）由題意可判F（x）為定義域?yàn)椋?1，1）的奇函數(shù)且單調(diào)遞減，故原不等式可化為F（t2-1）＜F（0），即t2-1＜0，解不等式可得．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y）是函數(shù)y=g（x）圖象上的任意一點(diǎn)，
則M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)N（-x，-y）在函數(shù)f（x）=loga（x+1）的圖象上，
∴-y=loga（-x+1），即y=-loga（1-x），
（2）由題意可得F（x）=f（x）+g（x）=loga（x+1）-loga（1-x）=loga
1+x
1-x
，
由
1+x
1-x
＞0可解得-1＜x＜1，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1），
又F（-x）=loga
1-x
1+x
=loga(
1+x
1-x
)-1=-loga
1+x
1-x
=-F（x），
∴F（x）為奇函數(shù)，必有F（0）=0
又∵F（x）=loga
1+x
1-x
=loga(
2
1-x
-1)，0＜a＜1，
∴F（x）為（1-，1）上的減函數(shù)，
∴F（t2-1）＜0可化為F（t2-1）＜F（0），
由單調(diào)性可得t2-1＜0，解得-1＜t＜1
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式的求解和函數(shù)的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=g（x）與f（x）=loga（x+1）（a＞1）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．
（1）寫出y=g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）+m為奇函數(shù)，試確定實(shí)數(shù)m的值；
（3）當(dāng)x∈[0，1）時，總有f（x）+g（x）≥n成立，求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=G（x）的圖象過原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為y=f（x），函數(shù)f（x）=3x2+2bx+c且滿足f（1-x）=f（1+x）．
（1）若f（x）≥0，對x∈[0，3]恒成立，求實(shí)數(shù)c的最小值．（2）設(shè)G（x）在x=t處取得極大值，記此極大值為g（t），求g（t）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=
1
2
ax2-（a-1）x，（a∈R）．
（Ⅰ）已知函數(shù)y=g（x）的零點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù)a的范圍．
（Ⅱ）記函數(shù)y=F（x）的圖象為曲線C．設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）是曲線C上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線C上存在點(diǎn)M（x0，y0），使得：①x0=
x1+x2
2
；②曲線C在點(diǎn)M處的切線平行于直線AB，則稱函數(shù)f（x）=存在“中值相依切線”．
試問：函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）（a∈R且a≠0）是否存在“中值相依切線”，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=g（x）的圖象與f(x)=x+
1
x
的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對稱．
（1）求y=g（x）的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)F(x)=g(x)+
a
x
（a∈R），若對任意x∈（0，2]，F(xiàn)（x）≥8恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•棗莊二模）已知函數(shù)f(x)=2co
s
2
 
ωx-1+2
3
cosωxsinωx(0＜ω＜1)，直線x=
π
3
是f(x)圖象的一條對稱軸．
（1）試求ω的值：
（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）圖象上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再向左平移
2π
3
個單位長度得到，若g(2α+
π
3
)=
6
5
，α∈(0，
π
2
)，求sinα的值．

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