Question

已知函數(shù)f(x)＝x³－ax²－3x.

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若x＝－是函數(shù)f(x)的極值點，求函數(shù)f(x)在[1，a]上的最大值；

(3)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－bx，在(2)的條件下，若函數(shù)g(x)恰有3個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解析　(1)f′(x)＝3x²－2ax－3，

∵f(x)在[1，＋∞)是增函數(shù)，

∴f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即

3x²－2ax－3≥0在[1，＋∞)上恒成立．

則必有≤1，且f′(1)＝－2a≥0.

∴a≤0.

(2)依題意，f′(－)＝0，

即＋a－3＝0，∴a＝4.

∴f(x)＝x³－4x²－3x.

令f′(x)＝3x²－8x－3＝0，

得x₁＝－，x₂＝3.

則當x變化時，f′(x)與f(x)變化情況如下表

x	1	(1,3)	3	(3,4)	4
f′(x)		－	0	＋
f(x)	－6		－18		－12

∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)＝－6.

(3)函數(shù)g(x)有3個零點⇔方程f(x)－bx＝0有3個不相等的實根．

即方程x³－4x²－3x＝bx有3個不等實根．

∵x＝0是其中一個根，

∴只需滿足方程x²－4x－3－b＝0有兩個非零不等實根．

∴

∴b>－7且b≠－3.

故實數(shù)b的取值范圍是b>－7且b≠－3.