Question

若拋物線x²=2y的頂點(diǎn)是拋物線上距離點(diǎn)A（0，a）最近的點(diǎn)，則a的取值范圍是

a≤1

．

Answer 1

分析：將拋物線上的點(diǎn)離點(diǎn)A的距離用兩點(diǎn)距離的平方表示出來(lái)，再研究二次函數(shù)的最值．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x，y）為拋物線上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P離點(diǎn)A（0，a）的距離的平方為
|AP|²=x²+（y-a）²
=x²+y²-2ay+a²
∵x²=2y
∴|AP|²=2y+y²-2ay+a²（y≥0）
=y²+2（1-a）y+a²（y≥0）
∴對(duì)稱軸為a-1
∵離點(diǎn)A（0，a）最近的點(diǎn)恰好是頂點(diǎn)
∴a-1≤0解得a≤1
故答案為：a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)在給定區(qū)間的最值的求法：弄清對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，在y=0時(shí)取到最小值，函數(shù)在定義域內(nèi)遞增，對(duì)稱軸在區(qū)間左邊．