【題目】設定義在上的函數(shù)滿足:對任意的,當時,都有.
(1)若,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若為周期函數(shù),證明:是常值函數(shù);
(3)若在上滿足:,,,
①記(),求數(shù)列的通項公式;② 求的值.
【答案】(1);(2)見解析;(3)①;②.
【解析】
(1)直接由f(x1)﹣f(x2)≤0求得a的取值范圍;
(2)若f(x)是周期函數(shù),記其周期為Tk,任取x0∈R,則有f(x0)=f(x0+Tk),證明對任意x∈[x0,x0+Tk],f(x0)≤f(x)≤f(x0+Tk),可得f(x0)=f(x0+nTk),n∈Z,再由…∪[x0﹣3Tk,x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk,x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk,x0]∪[x0,x0+Tk]∪[x0+Tk,x0+2Tk]∪…=R,可得對任意x∈R,f(x)=f(x0)=C,為常數(shù);
(3)依題意,可求得f(1)=1,f()f(1),再分別利用f()f(x),即可求得答案.
(1)由f(x1)≤f(x2),得f(x1)﹣f(x2)=a(x13﹣x23)≤0,
∵x1<x2,∴x13﹣x23<0,得a≥0.
故a的范圍是[0,+∞);
(2)若f(x)是周期函數(shù),記其周期為Tk,任取x0∈R,則有
f(x0)=f(x0+Tk),
由題意,對任意x∈[x0,x0+Tk],f(x0)≤f(x)≤f(x0+Tk),
∴f(x0)=f(x)=f(x0+Tk).
又∵f(x0)=f(x0+nTk),n∈Z,并且
…∪[x0﹣3Tk,x0﹣2Tk]∪[x0﹣2Tk,x0﹣Tk]∪[x0﹣Tk,x0]∪[x0,x0+Tk]∪[x0+Tk,x0+2Tk]∪…=R,
∴對任意x∈R,f(x)=f(x0)=C,為常數(shù);
(3)①∵f(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1,
∴f(1)=1,
由f()+f(1)=1,
∴f(),
∵f()f(x),
令x=1時,可得f()f(1),
f()f()=()2,
∴f()=()n,
∵,
∴an
②∵a4=f(),a5=f().
∵f(x)+f(1﹣x)=1,
令x,則f(),
由f()f(x),可得f()f(),
于是f(),f(),f(),
由f()≤f()≤f()
∴f()
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+sin x,x∈(-1,1),則滿足f(a2-1)+f(a-1)>0的a的取值范圍是( )
A. (0,2)B. (1,)C. (1,2)D. (0,)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:,過其焦點作斜率為1的直線交拋物線于,兩點,且線段的中點的縱坐標為4.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)若不過原點且斜率存在的直線與拋物線相交于、兩點,且.求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在對人們休閑方式的調查中,共調查了124人,其中女性70人,男性54人.女性中有43人主要的休閑方式是看電視,另外27人主要的休閑方式是運動;男性中有21人主要的休閑方式是看電視,另外33人主要的休閑方式是運動.能否在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下認為性別與休閑方式是否有關系?
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當時,求曲線在點處切線的方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅲ)當時,恒成立,求a的取值范圍.
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