Question

如圖所示，已知在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB₁的長為4，E為C₁C上的點，且CE=1，
（1）求證：A₁C⊥平面BDE；
（2）求A₁B與平面BDE所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，利用向量的數(shù)量積，可證得直線A₁C與BE，BD均垂直，再由線面垂直的判定定理得到A₁C⊥平面BED；
（2）由（1）中結(jié)論，我們可得

A1C

是平面BDE的一個法向量，再求出直線A₁B的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到A₁B與平面BDE所成角的正弦值的大�。�

解答：（1）證明：以D為原點，DA、DC、DD₁所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系D-xyz
則D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），C₁（0，2，4），D₁（0，0，4），E（0，2，1），
∴

BE

=（-2，0，1）．
∵

A1C

=（-2，2，-4），

DB

=（2，2，0），
∴

A1C

•

BE

=4+0-4=0且

A1C

•

DB

=-4+4+0=0，
∴

A1C

⊥

DB

且

A1C

⊥

BE

，
∵DB∩BE=B
∴A₁C⊥平面BDE；                  
（2）解：由（1）知

A1C

=（-2，2，-4）是平面BDE的一個法向量，
∵

A1B

=（0，2，-4），
∴cos＜

A1C

，

A1B

＞=

A1C • A1B

| A1C || A1B |

=

30

6

，
∴A₁B與平面BDE所成角的正弦值為

30

6

．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，向量語言表述線面的垂直、平行關(guān)系，其中建立空間坐標系，將空間線面的夾角及垂直、平行問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答此類問題的關(guān)鍵．