Question

如圖，O是正方形ABCD的中心，PO⊥面ABCD，E是PC的中點(diǎn)．，．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求異面直線PA和BE所成的角．

Answer 1

（1）證明：∵PO⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴PO⊥BD…2分
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC…4分
∵PO∩AC=O，PO?平面PAC，AC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC…6分
（2）解：連接OE，
∵O是正方形ABCD的中心，∴OA=OC…7分
在△PAC中，E是PC的中點(diǎn)
∴OE∥PA且…8分
∴∠OEB是異面直線PA和BE所成的角 …9分
在正方形ABCD中，，∴…10分
在Rt△POA中，OA=OB=1，，∴…11分
∴…12分
由（1）知BD⊥平面PAC，且OE?平面PAC，∴BD⊥OE
∴在Rt△BOE中，…13分
∴∠OEB=30°，即異面直線PA和BE所成的角是30°…14分
分析：（1）利用線面垂直的性質(zhì)可得PO⊥BD，結(jié)合ABCD是正方形，利用線面垂直的判定可得結(jié)論；
（2）連接OE，證明∠OEB是異面直線PA和BE所成的角，在Rt△BOE中，求異面直線PA和BE所成的角．
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查異面直線所成的角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．