【答案】
分析:(I)解法一:由題設(shè)條件可猜想出數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=(n-1)λ
n+2
n.然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解法二:由a
n+1=λa
n+λ
n+1+(2-λ)2
n(n∈N*),λ>0,可知
為等數(shù)列,其公差為1,首項為0.由此可求出數(shù)列{a
n}的通項公式.
(II)設(shè)T
n=λ
2+2λ
3+3λ
4++(n-2)λ
n-1+(n-1)λ
n,λT
n=λ
3+2λ
4+3λ
5++(n-2)λ
n+(n-1)λ
n+1.然后用錯位相減法進(jìn)行求解.(III)證明:通過分析,推測數(shù)列
的第一項
最大.然后用分析法進(jìn)行證明.
解答:解:(I)解法一:a
2=2λ+λ
2+(2-λ)×2=λ
2+2
2,a
3=λ(λ
2+2
2)+λ
3+(2-λ)×2
2=2λ
3+2
3,
a
4=λ(2λ
3+2
3)+λ
4+(2-λ)×2
3=3λ
4+2
4.
由此可猜想出數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=(n-1)λ
n+2
n.
以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.
(1)當(dāng)n=1時,a
1=2,等式成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立,即a
k=(k-1)λ
k+2
k,
那么,a
k+1=λa
k+λ
k+1+(2-λ)2
k=λ(k-1)λ
k+λ2
k+λ
k+1+2
k+1-λ2
k=[(k+1)-1]λ
k+1+2
k+1.
這就是說,當(dāng)n=k+1時等式也成立.根據(jù)(1)和(2)可知,等式a
n=(n-1)λ
n+2
n對任何n∈N
*都成立.
解法二:由a
n+1=λa
n+λ
n+1+(2-λ)2
n(n∈N*),λ>0,可得
,
所以
為等差數(shù)列,其公差為1,首項為0.故
,
所以數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=(n-1)λ
n+2
n.
(II)解:設(shè)T
n=λ
2+2λ
3+3λ
4++(n-2)λ
n-1+(n-1)λ
n①
λT
n=λ
3+2λ
4+3λ
5++(n-2)λ
n+(n-1)λ
n+1.②
當(dāng)λ≠1時,①式減去②式,得(1-λ)T
n=λ
2+λ
3++λ
n-(n-1)λ
n+1=
,
.
這時數(shù)列{a
n}的前n項和
.
當(dāng)λ=1時,
.這時數(shù)列{a
n}的前n項和
.
(III)證明:通過分析,推測數(shù)列
的第一項
最大.下面證明:
.③
由λ>0知a
n>0.要使③式成立,只要2a
n+1<(λ
2+4)a
n(n≥2).因為(λ
2+4)a
n=(λ
2+4)(n-1)λ
n+(λ
2+4)2
n>4λ.(n-1)λ
n+4×2
n=4(n-1)λ
n+1+2
n+2≥2nλ
n+1+2
n+2=2a
n+1,n>2.
所以③式成立.因此,存在k=1,使得
對任意n∈N
*均成立.
點評:本題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體,主要考查等比數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識與基本方法,考查歸納、推理、運算及靈活運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.