Question

已知函數(shù)F（x）=2^x滿足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，若不等式g（2x）+ah（x）≥0對?x∈[1，2]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．

Answer 1

分析：由F（x）=g（x）+h（x）及g（x），h（x）的奇偶性可求得g（x），h（x），進而可把g（2x）+ah（x）≥0表示出來，分離出參數(shù)后，利用換元轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題即可解決．
解答：由F（x）=g（x）+h（x）即2^x=g（x）+h（x）①，得2^-x=g（-x）+h（-x），
又g（x），h（x）分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，所以2^-x=g（x）-h（x）②，
聯(lián)立①②解得，g（x）=，h（x）=．
g（2x）+ah（x）≥0，即+a•≥0，也即（2^2x+2^-2x）+a（2^x-2^-x）≥0，即（2^x-2^-x）²+2+a（2^x-2^-x）≥0，
令t=2^x-2^-x，∵x∈[1，2]，∴t∈[，]，則不等式變?yōu)閠²+2+at≥0，
所以不等式g（2x）+ah（x）≥0對?x∈[1，2]恒成立，等價于t²+2+at≥0對t∈[，]恒成立，也即a≥-t-對t∈[，]恒成立，
令y=-t-，t∈[，]，則y′=-1+=＜0，所以y=-t-在[，]上遞減，
所以y_max=--=-，所以a≥-．
故答案為：a≥-．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)恒成立問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大．