Question

如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，tan∠DAC=．現(xiàn)沿對角線BD把△ABD折起，使∠ADC的余弦值為．
（Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面CBD；
（Ⅱ）若M是AB的中點(diǎn)，求AC與平面MCD所成角的一個三角函數(shù)值．

Answer 1

【答案】分析：（I）證明平面ABD⊥平面CBD，只需證明AO⊥平面BCD；
（II）建立空間直角坐標(biāo)系，求出，平面MCD的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論．
解答：（Ⅰ）證明：菱形ABCD中，tan∠DAC=，AD=10，
∴OA=8，OD=6                    …（1分）
翻折后變成三棱椎A(chǔ)-BCD，在△ACD中，，…（3分）
在△AOC中，OA²+OC²=128=AC²，…（4分）
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，
∴AO⊥平面BCD，
又AO?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面CBD．                    …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD兩兩互相垂直，分別以O(shè)A，OC，OD所在直線為坐標(biāo)軸建系，則A（0，0，8），B（0，-6，0），C（8，0，0）D（0，6，0）M（0，-3，4），…（7分），，…（8分）
設(shè)平面MCD的一個法向量為，則由，得，…（10分）
令y=4，有，…（11分）
設(shè)AC與平面MCD所成角為θ，則，…（13分）
∴AC與平面MCD所成角的余弦值為，…（14分）
點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．