已知△ABC是半徑為R的圓內(nèi)接三角形,且2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB
(1)求角C;
(2)試求△ABC面積的最大值.
分析:(1)根據(jù)正弦定理,已知等式中的角轉(zhuǎn)換成邊,可得a、b、c的平方關(guān)系,再利用余弦定理求得cosC的值,可得角C的大;
(2)根據(jù)正弦定理算出c=
2
R,再由余弦定理c2=a2+b2-2a•bcosC的式子,結(jié)合基本不等式找到邊ab的范圍,利用正弦定理的面積公式加以計算,即可求出△ABC面積的最大值.
解答:解:(1)∵2R(sin2A-sin2C)=(
2
a-b)sinB,
∴根據(jù)正弦定理,得a2-c2=(
2
a-b)b=
2
ab-b2,
可得a2+b2-c2=
2
ab
∴cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
2
ab
2ab
=
2
2

∵角C為三角形的內(nèi)角,∴角C的大小為
π
4

(2)由(1)得c=2Rsin
π
4
=
2
R
由余弦定理c2=a2+b2-2a•bcosC,可得
2R2=a2+b2-
2
a•b≥2ab-
2
ab=(2-
2
)ab,當且僅當a=b時等號成立
∴ab≤
2R2
2-
2
=(2+
2
)R2
∴S△ABC=
1
2
absinC≤
1
2
•(2+
2
)R2
2
2
=
1+
2
2
R2
即△ABC面積的最大值為
1+
2
2
R2
點評:本題給出三角形的外接圓半徑為R,在已知角的關(guān)系式情況下,求三角形面積最大值.著重考查了三角形的外接圓、正余弦定理和基本不等式求最值等知識,屬于中檔題.
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AC
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