Question

20．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，M為短軸端點(diǎn)，且S_△MF1F2=4，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)O作兩條射線，與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，且滿足$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$，證明點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由M為橢圓短軸端點(diǎn)，且S_△MF1F₂=4，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）推導(dǎo)出兩條射線OA、OB互相垂直，當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB的方程為$x=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，原點(diǎn)與直線AB的距離$d=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出弦AB的長度的最小值．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$，M為短軸端點(diǎn)，且S_△MF1F₂=4，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴由題意得${S_{△M{F_1}{F_2}}}=\frac{1}{2}×2c×b=4$，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，a²=b²+c²，…2分
解得a=2$\sqrt{2}$，b=2，…3分
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．…4分
（2）證明：∵$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|=|{\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}}|$，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，即兩條射線OA、OB互相垂直．…5分
當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB的方程為$x=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
此時原點(diǎn)與直線AB的距離$d=\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，…6分
當(dāng)直線AB斜率存在時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+m，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得x²+2（kx+m）²=8，
即（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
則△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0，即8k²-m²+4＞0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，…8分
${y}_{1}{y}_{2}=（k{x}_{1}+m）（k{x}_{2}+m）={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}$+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{{k}^{2}（2{m}^{2}-8）}{1+2{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+m²
=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴3m²-8k²-8=0，∴${m^2}=\frac{{8（{k^2}+1）}}{3}$…9分
∴O到直線AB的距離$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{\frac{{8（{k^2}+1）}}{3}}}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
綜上：O到直線AB的距離為定值$\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$．…10分
∵OA⊥OB，∴AB²=OA²+OB²≥2OA•OB，當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時取“=”號．
∴$OA•OB≤\frac{A{B}^{2}}{2}$，…11分
又d•AB=OA•OB，∴$d•AB≤\frac{A{B}^{2}}{2}$，
∴$AB≥2d=\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$，
∴弦AB的長度的最小值是$\frac{{4\sqrt{6}}}{3}$．…13分．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的最小值的求法，是難題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．