Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+$\frac{x}{x+1}$．
（1）求證：函數(shù)f（x）的唯一零點x₀∈（-$\frac{1}{2}$，0）；
（2）求證：對任意λ＞0，存在μ＜0，使得f（x）＜0在（-1，λμ）上恒成立；
（3）設(shè)g（x）=f（x）-x=（$\frac{1}{2}$）^h（x）-1，當(dāng)x＞0時，比較g（x）與h（x）的大�。�

Answer 1

分析 （1）令f（x）=0，可得e^x=-$\frac{x}{x+1}$，由e^x＞0，可得-1＜x＜0，運(yùn)用零點存在定理，即可得證；
（2）運(yùn)用（1）的結(jié)論，結(jié)合f（x）＜0，在（-1，x₀）處恒成立．即可得證；
（3）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，可得g（x）＞0，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得h（x）的單調(diào)性，可得h（x）＜0，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）證明：令f（x）=0，可得e^x=-$\frac{x}{x+1}$，
由e^x＞0，可得-1＜x＜0，
由f（x）=e^x+$\frac{x}{x+1}$=e^x+1-$\frac{1}{1+x}$在（-$\frac{1}{2}$，0）遞增，
由f（-$\frac{1}{2}$）=${e}^{-\frac{1}{2}}$+1-$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$=${e}^{-\frac{1}{2}}$-1＜0，
f（0）=1+0＞0，由函數(shù)零點存在定理，可得
函數(shù)f（x）存在唯一零點x₀∈（-$\frac{1}{2}$，0）；
（2）證明：由（1）可得f（x）在（-1，0）遞增，
由函數(shù)f（x）存在唯一零點x₀∈（-$\frac{1}{2}$，0），
即有f（x）＜0，在（-1，x₀）處恒成立．
可令λμ=x₀，即有對任意λ＞0，存在μ＜0，
使得f（x）＜0在（-1，λμ）上恒成立；
（3）g（x）=f（x）-x=e^x+$\frac{x}{x+1}$-x=e^x+1-$\frac{1}{x+1}$-x
的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=e^x+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$-1，
x＞0時，e^x＞1，g′（x）＞0，g（x）遞增，即有g(shù)（x）＞g（0）=1，
h（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$g（x）+1在x＞0時，由t=g（x）在x＞0遞增，
h（x）=1+$lo{g}_{\frac{1}{2}}$t遞減，即有h（x）在x＞0遞減，
則h（x）＜h（0）=1，
故當(dāng)x＞0時，g（x）＞h（x）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點存在定理的運(yùn)用，以及函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．