Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若不等式|f（x）|≤|x|對任意的實(shí)數(shù)x均成立，則稱函數(shù)f（x）為“T”函數(shù)，給出下列四個(gè)函數(shù)：
①f₁（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
②f₂（x）=xsinx，
③f₃（x）=ln（x²+1），
④f₄（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$．
其中，“T”函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 當(dāng)x=0時(shí)，有|f₁（x）|=|x|成立，當(dāng)x≠0時(shí)，利用不等式的性質(zhì)說明|f₁（x）|≤|x|成立，由此說明①是“T”函數(shù)；
直接由|sinx|≤1得到|f₂（x）|≤|x|，說明②是“T”函數(shù)；
分類求導(dǎo)說明|f₃（x）|≤|x|，說明③是“T”函數(shù)；
舉例說明④不是“T”函數(shù)．

解答 解：對于①，f₁（x）=$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$，
當(dāng)x=0時(shí)，有|$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$|=0≤x，
當(dāng)x≠0時(shí)，若|$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$|≤|x|，則2|x|≤|x²+1|=|x|²+1，
由不等式的性質(zhì)可得上式顯然成立，故f₂（x）是“T”函數(shù)；
對于②，f₂（x）=xsinx，
∵|sinx|≤1，∴|xsinx|=|x||sinx|≤|x|，故f₂（x）為“T”函數(shù)；
對于③，f₃（x）=ln（x²+1），
令g（x）=|ln（x²+1）|-|x|=ln（x²+1）-|x|，
當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=ln（x²+1）-x，
g′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}-1=\frac{-（x-1）^{2}}{{x}^{2}+1}≤0$，
∴g（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)，則g（x）≤g（0）=0，即|ln（x²+1）|≤|x|．
當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）=ln（x²+1）+x，
g′（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}+1=\frac{（x+1）^{2}}{{x}^{2}+1}≥0$，
∴g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，則g（x）≤g（0）=0，即|ln（x²+1）|≤|x|．
故f₃（x）為“T”函數(shù)；
對于④，f₄（x）=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$，
當(dāng)x=0時(shí)，|$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$|=$|\frac{1}{2}|$＞0，故f₄（x）不是“T”函數(shù)．
∴“T”函數(shù)的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．