Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，2a_n+1=2a_n+1，n∈N⁺，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=

1

2

（1-

1

3n

），n∈N⁺
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_nb_n，n∈N⁺，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由2a_n+1=2a_n+1，變形為an+1-an=

1

2

，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．由S_n=

1

2

（1-

1

3n

），利用遞推式可得b_n．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵2a_n+1=2a_n+1，∴an+1-an=

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公差d=

1

2

．
∴a_n=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

．
∵S_n=

1

2

（1-

1

3n

），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=

1

2

(1-

1

3n-1

)，
b_n=S_n-S_n-1=

1

2

（1-

1

3n

）-

1

2

(1-

1

3n-1

)=

1

3n

．
當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=

1

2

(1-

1

3

)=

1

3

，上式也成立．
∴bn=(

1

3

)n．
綜上可得：a_n=

n+1

2

，bn=(

1

3

)n．
（2）c_n=a_nb_n=

n+1

2

×(

1

3

)n．
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=

1

2

[2×

1

3

+3×(

1

3

)2+…+(n+1)×(

1

3

)n]，

1

3

Tn=

1

2

[2×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3+…+n×(

1

3

)n+(n+1)×(

1

3

)n+1]，
∴

2

3

Tn=

1

2

[2×

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+(

1

3

)n-(n+1)×(

1

3

)n+1]
=

1

2

[

1

3

+

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-(n+1)×(

1

3

)n+1]
=

1

6

+

1

4

-

2n+5

4×3n+1

，
∴T_n=

5

8

-

2n+5

4×3n

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．