Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+x²+b，g（x）=，其中x∈R
（I）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)為R上的連續(xù)函數(shù)，求F（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，若對(duì)任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式g（x₁）＜f（x₂）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由連續(xù)的定義可知，函數(shù)F（x）在x=2處的極限存在且極限與F（2）的值相等，可求a，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可
（II）對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，2]，g（x₁）＜f（x₂）恒成立?g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]，利用導(dǎo)數(shù)分別求解函數(shù)g（x）的最大值與f（x）的最小值，從而可求b的范圍
解答：解：（I）當(dāng)時(shí)，函數(shù)F（x）為R上的連續(xù)函數(shù)，
∴
∴a=8
∵f′（x）=-x²+2x=-x（x-2）令f′（x）＞0，0＜x＜2
∴當(dāng)x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，2）上單調(diào)遞增．
又，
當(dāng)x∈（2，+∞時(shí)，g′（x）＜0恒成立，
∴當(dāng)x＞2時(shí)，函數(shù)g（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞減．
綜上可知，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）
（Ⅱ）對(duì)任意x₁，x₂∈[-1，2]，f（x₁）＜f（x₂）恒成立
g（x）_max＜f（x）_min，x∈[-1，2]
∵a=-1
∴
此時(shí)g′（x）＞0即-x²+2x+1＞0
∴
當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，函數(shù)g（x）在[-1，1-]上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
而
∴當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，函數(shù)g（x）的最大值為．
結(jié)合（I）中函數(shù)f（x）的單調(diào)性可知：當(dāng)x∈[-1，2]時(shí)，f（x）_min=f（0）=b
∴g（x）_max＜f（x）_min
∴
即實(shí)數(shù)b的取值范圍為b
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)連續(xù)條件的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用基本定義，及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值，函數(shù)的恒成立與函數(shù)的最值的相互轉(zhuǎn)化