Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓與曲線的交點(diǎn)分別為（下上），且兩點(diǎn)滿(mǎn)足．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，且直線在軸、軸上的截距分別為，證明：為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析．

【解析】試題分析：（1）設(shè)，然后根據(jù)向量數(shù)量積求得的值，再結(jié)合離心率求得的值，由此求得橢圓方程；（2）．設(shè)點(diǎn)，然后根據(jù)條件求得的方程，從而求得直線在軸、軸上的截距為，進(jìn)而使問(wèn)題得證．

試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，設(shè)，則，

由，得，∴，①

又橢圓的離心率為，所以，②

又，③

由①②③，解得，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

（2）如圖，設(shè)點(diǎn)，由是的切點(diǎn)知，，

所以四點(diǎn)在同一圓上，且圓的直徑為，

則圓心為，其方程為，

即，④

即點(diǎn)滿(mǎn)足話中④，又點(diǎn)都在上，

所以坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程，⑤

⑤-④得直線的方程為，

令，得；令，得，所以，

又點(diǎn)在橢圓上，所以，即中，

即，即為定值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分