設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)(x≥0)到定點(diǎn)F的距離比到y軸的距離大.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;

(2)設(shè)圓M過(guò)A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M在y軸上截得的弦,當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)弦長(zhǎng)BD是否為定值?說(shuō)明理由;

(3)過(guò)F作互相垂直的兩直線交曲線C于G、H、R、S,求四邊形GRHS面積的最小值.

 

【答案】

(1) y2=2x (2) BD=2,即弦長(zhǎng)BD為定值 (3)8

【解析】

解:(1)由題意知,所求動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡為以F為焦點(diǎn),直線l:x=-為準(zhǔn)線的拋物線,其方程為y2=2x.

(2)是定值.解法如下:設(shè)圓心M,

半徑r=,

圓的方程為+(y-a)2=a2+,

令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),

∴BD=2,即弦長(zhǎng)BD為定值.

(3)設(shè)過(guò)F的直線GH的方程為y=k,G(x1,y1),H(x2,y2),

由得k2x2-(k2+2)x+=0,

∴x1+x2=1+,x1x2=,

∴|GH|=·=2+,

同理得|RS|=2+2k2.

S四邊形GRHS=(2+2k2)= 2≥8(當(dāng)且僅當(dāng)k=±1時(shí)取等號(hào)).

∴四邊形GRHS面積的最小值為8.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)=（1，），=（0，1），若動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足條件則動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的變化范圍（不含邊界的陰影部分）是（    ）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010-2011年上海市高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

四．附加題（本小題滿分8分）

設(shè)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)，且復(fù)數(shù)滿足條件

|a（其中n.常數(shù)a當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡為C1, 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的軌跡為C2,且兩條曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)D(2,),求軌跡C1  與C2的方程？

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

動(dòng)點(diǎn)P(x,y)是拋物線y=x2-2x-1上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)S=|OP|2,若x=2時(shí),S取極小值,求S的最小值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)設(shè)關(guān)于x的方程x2-mx-1=0有兩個(gè)實(shí)根α、β,且α＜β.定義函數(shù)f(x)=.

(1)求αf(α)+βf(β)的值;

(2)判斷f(x)在區(qū)間(α,β)上的單調(diào)性,并加以證明;

(3)若λ、μ為正實(shí)數(shù),證明不等式:|f()-f()|＜|α-β|.

(文)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y),PM⊥y軸,垂足為M,點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱,且=4.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡W的方程;

(2)若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,0),A、B為W上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足QA⊥QB,點(diǎn)Q到直線AB的距離為d,求d的最大值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案