Question

某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量（單位：克），重量值落在（495，510]的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．表1是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，圖1是乙流水線樣本的頻率分布直方圖．

（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)在答題卡上作出甲流水線樣本的頻率分布直方圖；
（2）若以頻率作為概率，試估計(jì)從乙流水線上任取5件產(chǎn)品，恰有3件產(chǎn)品為合格品的概率；
（3）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答有多大的把握認(rèn)為“產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與
兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)”．

	甲流水線	乙流水線	合計(jì)
合格品	a=	b=
不合格品	c=	d=
合　計(jì)			n=

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：下面的臨界值表供參考：
（參考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的每一組的頻數(shù)和樣本容量做出每一組的頻率，在平面直角坐標(biāo)系中做出頻率分步直方圖．
（2）根據(jù)所給的以樣本中的合格品數(shù)，除以樣本容量做出合格品的頻率，可估計(jì)從乙流水線上任取一件產(chǎn)品該產(chǎn)品為合格品的概率，得到變量符合二項(xiàng)分布，做出概率．
（3）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，列出列聯(lián)表，根據(jù)所給的觀測值的公式，代入數(shù)據(jù)做出觀測值，同臨界值進(jìn)行比較，得到有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)．

解答：解：（1）根據(jù)所給的每一組的頻數(shù)和樣本容量做出每一組的頻率，在平面直角坐標(biāo)系中做出頻率分步直方圖，
甲流水線樣本的頻率分布直方圖如下：


（2）由圖1知，乙樣本中合格品數(shù)為（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，
故合格品的頻率為

36

40

=0.9，據(jù)此可估計(jì)從乙流水線上任取一件產(chǎn)品該產(chǎn)品為合
格品的概率P=0.9，
設(shè)ξ為從乙流水線上任取5件產(chǎn)品中的合格品數(shù)，則ξ～B（5，0.9）
∴P（ξ=3）=C₅³（0.9）³（0.1）²=0.0729．
即從乙流水線上任取5件產(chǎn)品，恰有3件產(chǎn)品為合格品的概率為0.0729．
（3）2×2列聯(lián)表如下

	甲流水線	乙流水線	合計(jì)
合格品	30	36	66
不合格品	10	4	14
合　計(jì)	40	40	n=80

∵K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

80×(120-360)2

66×14×40×40

≈3.117＞2.706
∴有90%的把握認(rèn)為產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)．

點(diǎn)評：本題考查頻率分步直方圖，考查列聯(lián)表，觀測值的求法，是一個獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以利用臨界值的大小來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計(jì)假設(shè)，若值較大就拒絕假設(shè)，即拒絕兩個事件無關(guān)．