Question

對于函數(shù)f（x）=x|x|+px+q現(xiàn)給出四個命題，其中所有正確的命題序號是
①q=0時，f（x）為奇函數(shù)　　　　　　 ②y=f（x）的圖象關(guān)于（0，q）對稱
③p=0，q＞0，f（x）有且只有一個零點�、躥（x）至多有2個零點．

1. A.
   ①④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ②③
4. D.
   ①②③④

Answer 1

B
分析：①若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px為奇函數(shù)；
②y=x|x|+px為奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）對稱，把y=x|x|+px圖象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q的圖象，易得f（x）的圖象關(guān)于點（0，q）對稱；
③當(dāng)p=0，q＞0時，x＞0時，方程f（x）=0的無解，x＜0時，（x）=0的解為x=-；
④q=0，p=-1時方程f（x）=0的解為x=0或x=1或x=-1，即方程f（x）=0有3個零點．
解答：①若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=q=0，
反之若q=0，f（x）=x|x|+px為奇函數(shù)，
所以①正確．
②y=x|x|+px為奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）對稱，
把y=x|x|+px圖象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q
圖象，易得f（x）的圖象關(guān)于點（0，q）對稱．
所以②正確．
③當(dāng)p=0，q＞0時，x＞0時，方程f（x）=0的無解，
x＜0時，f（x）=0的解為x=-，故③正確．
④q=0，p=-1時方程f（x）=0的解為x=0或x=1或x=-1，
即方程f（x）=0有3個零點，
故④不正確．
故選B．
點評：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．