Question

10．過雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線的兩條漸近線分別相交于B，C，且2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，則此雙曲線的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 先由雙曲線線方程可得A的坐標(biāo)和直線l的方程，與雙曲線的漸近線聯(lián)立求得B和C的橫坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，求得b的值，進(jìn)而根據(jù)c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，求得c，最后根據(jù)離心率公式答案可得．

解答 解：由題可知A（1，0），
所以直線l的方程為y=x-1．
兩條漸近線方程為y=±bx，
聯(lián)立y=x-1和y=bx，得C的橫坐標(biāo)為x_C=$\frac{1}{1-b}$，
同理得B的橫坐標(biāo)為x_B=$\frac{1}{1+b}$．
∵2$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BC}$，
∴2（$\frac{1}{1+b}$-1）=$\frac{1}{1-b}$-$\frac{1}{1+b}$，
得b=2或-1（舍去-1）．
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考題雙曲線性質(zhì)的綜合運(yùn)用，主要是離心率，解題過程中要注意聯(lián)立方程求交點(diǎn)，向量的坐標(biāo)表示的運(yùn)用．