Question

如圖：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為D₁C₁，B₁C₁的中點(diǎn)，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q；
（1）點(diǎn)B，D，F(xiàn)，E是否共面？并說明理由；
（2）若直線A₁C與平面BDEF的交點(diǎn)為R證明：點(diǎn)P，Q，R共線．

Answer 1

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）點(diǎn)B，D，F(xiàn)，E是否共面？并說明理由；
（2）若直線A₁C與平面BDEF的交點(diǎn)為R證明：點(diǎn)P，Q，R共線．

解答： 解：（1）點(diǎn)B，D，F(xiàn)，E共面．
證明：由于CC₁和BF在同一平面內(nèi)，且不平行，故必相交，
設(shè)交點(diǎn)為O，則OC₁=CC₁，
同理，直線DE與CC₁與相交，設(shè)交點(diǎn)為O₁，則O₁C₁=CC₁，
故O與O₁重合，得DE與BF交于O，故B，D，F(xiàn)，E是否共面．
（2）在正方體AC₁中，連接PQ，
∵Q∈A₁C₁，
∴Q∈平面A₁C₁CA，又Q∈EF，
∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A₁C₁CA與平面BDEF的公共點(diǎn)，
同理P是平面A₁C₁CA與平面BDEF的公共點(diǎn)，
∴平面A₁C₁CA∩平面BDEF=PQ，
∵CA∩平面BDEF=R，
∴R∈CA，R∈平面A₁C₁CA，R∈平面BDEF，
故點(diǎn)P，Q，R共線．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力．