Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為B，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），且$\overrightarrow{{F}_{1}B}$•$\overrightarrow{QB}$=0，2$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$+$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$=0．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過定點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)（M在P，N之間），設(shè)直線l的斜率為k（k＞0），在x軸上是否存在點(diǎn)A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知Q（3，0），F(xiàn)₁B⊥QB，|QF₁|=4c=3+c，解得c=1． 在Rt△F₁BQ中，|BF₂|=2c=2，得a=2，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)l：y=kx+2（k＞0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），取MN的中點(diǎn)為E（x₀，y₀）．假設(shè)存在點(diǎn)A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，聯(lián)立直線與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合斜率公式求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由已知Q（3，0），F(xiàn)₁B⊥QB，
|QF₁|=4c=3+c，∴c=1． 
在Rt△F₁BQ中，F(xiàn)₂為線段F₁Q的中點(diǎn)，
故|BF₂|=2c=2，∴a=2．
于是橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）設(shè)l：y=kx+2（k＞0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），取MN的中點(diǎn)為E（x₀，y₀）．
假設(shè)存在點(diǎn)A（m，0），
使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形，則AE⊥MN．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
由△=256k²-16（4k²+3）＞0，得${k}^{2}＞\frac{1}{4}$，又k＞0，∴k＞$\frac{1}{2}$．
∵${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{4{k}^{2}+3}$，
∴${x}_{0}=-\frac{8k}{4{k}^{2}+3}$，${y}_{0}=k{x}_{0}+2=\frac{6}{4{k}^{2}+3}$．
∵AE⊥MN，∴${k}_{AF}=-\frac{1}{k}$，即$\frac{\frac{6}{4{k}^{2}+3}-0}{\frac{-8k}{4{k}^{2}+3}-m}=-\frac{1}{k}$，
整理得m=-$\frac{2k}{4{k}^{2}+3}$=-$\frac{2}{4k+\frac{3}{k}}$．
∵k＞$\frac{1}{2}$時(shí)，4k+$\frac{3}{k}$≥4$\sqrt{3}$，
∴m=-$\frac{2}{4k+\frac{3}{k}}$∈[-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，0）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．