Question

設正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對于任何，有．

（1）求，；

（2）求數(shù)列的通項．

 

Answer 1

(1) ， ；(2) .

【解析】

試題分析：（1）令，根據(jù)算得,再根據(jù)是正整數(shù)，算得.

當時,同樣根據(jù),將代入，得到的范圍，根據(jù)是正整數(shù)，求得.

(2）先根據(jù)可猜想，再用數(shù)學歸納法證明．

試題解析：【解析】
（1）據(jù)條件得 ①

當時，由，即有，

解得．因為為正整數(shù)，故．

當時，由，

解得，所以．

（2）方法一：由，，，猜想：．

下面用數(shù)學歸納法證明．

1當，時，由（1）知均成立；

2假設成立，則，則時

由①得

因為時，，所以．

，所以．

又，所以．

故，即時，成立．

由1，2知，對任意，．

（2）方法二：

由，，，猜想：．

下面用數(shù)學歸納法證明．

1當，時，由（1）知均成立；

2假設成立，則，則時

由①得

即②

由②左式，得，即，因為兩端為整數(shù)，

則．于是③

又由②右式，．

則．

因為兩端為正整數(shù)，則，

所以．

又因時，為正整數(shù)，則④

據(jù)③④，即時，成立．

由1，2知，對任意，．

考點：1.數(shù)列的遞推公式；2.數(shù)學歸納法.