Question

已知橢圓x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為A，C上頂點(diǎn)為B，過F，B，C三點(diǎn)作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．
（1）若橢圓的離心率e=

3

2

，求⊙P的方程；
（2）若⊙P的圓心在直線x+y=0上，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率和長半軸求得半焦距c，進(jìn)而求得b，進(jìn)而可求得B，F(xiàn)，C的坐標(biāo)，設(shè)出圓P的方程，把三點(diǎn)坐標(biāo)代入后聯(lián)立求得m，n和r，則所求圓的方程可得．
（2））根據(jù)⊙P過點(diǎn)F，B，C三點(diǎn)，可推斷出圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，進(jìn)而根據(jù)題意表示出FC和BC的垂直平分線方程聯(lián)立后求得交點(diǎn)即圓心的坐標(biāo)表達(dá)式，代入直線方程x+y=0求得b，則橢圓的方程可得．

解答：解：（1）當(dāng)e=

3

2

時(shí)，∵a=1，∴c=

3

2

，
∴b2=a2-c2=1-

3

4

=

1

4

，b=

1

2

，
點(diǎn)B(0，

1

2

)，F(-

3

2

，0)，C（1，0）
設(shè)⊙P的方程為（x-m）²+（y-n）²=r²，
由⊙P過點(diǎn)F，B，C得
∴m2+(

1

2

-n)2=r2①(m+

3

2

)2+n2=r2②（1-m）²+n²=r²③
由①②③聯(lián)立解得：m=

2- 3

4

，n=

1-2 3

4

，r2=

5

4

-
∴所求的⊙P的方程為(x-

2- 3

4

)2+(y-

1-2 3

4

)2=

5

4

（2）∵⊙P過點(diǎn)F，B，C三點(diǎn)，
∴圓心P既在FC的垂直平分線上，
也在BC的垂直平分線上，F(xiàn)C的垂直平分線方程為x=

1-c

2

④
∵BC的中點(diǎn)為(

1

2

，

b

2

)，k_BC=-b
∴BC的垂直平分線方程為y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)⑤
由④⑤得x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

，即m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

（
∵P（m，n）在直線x+y=0上，∴

1-c

2

+

b2-c

2b

=0?（1+b）（b-c）=0
∵1+b＞0∴b=c，由b²=1-c²得b2=

1

2

∴橢圓的方程為x²+2y²=1

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的基本性質(zhì)，橢圓與圓和直線的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力和分析推理的能力．屬中檔題．